Filosofía analítica,
Los números irracionales son los que no pueden expresarse como cociente de enteros. Según Platón, los griegos descubrieron que √2 era irracional a través de un argumento que recurría a los conceptos de par e impar. El argumento es el siguiente:
Si √2 no es irracional puede escribirse en la forma p/q, donde p y q son enteros y p/q es una fracción irreducible. En consecuencia, (p/q)² = 2 y p² = 2q², por lo que p² debe ser par (dado que es el producto de 2 por un entero) y p debe ser par. Si p es par, entonces q debe ser impar (ya que de lo contrario p/q no sería irreducible). Pero si p es par, puede sustituirse por 2r, donde r es un entero. Entonces p² = 4r² = 2q² de ahí se sigue que q² = 2r². Esto significa que q también es par. Por lo tanto, el supuesto inicial en el que √2 es racional lleva lógicamente a la conclusión de que un entero (q) es a la vez par e impar. Como esto no puede ser verdad, el supuesto inicial es falso y √2 debe ser irracional.
Esta demostración es un gran ejemplo de una forma de razonamiento matemático; a saber, reducción al absurdo, en la que se demuestra un enunciado suponiendo que no es verdadero y demostrando que este supuesto lleva a una contradicción. El carácter irracional de √2 fue una sorpresa considerable para los griegos, quienes ya sabian por el teorema de Pitágoras que √2 es el cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado. Ello significaba que la diagonal y el lado eran inconmensurables, esto es, que no había ninguna escala de medida, por precisa que fuese, que pudiera medir ambos exactamente.
Números irracionales y reducción al absurdo
Los números irracionales son los que no pueden expresarse como cociente de enteros. Según Platón, los griegos descubrieron que √2 era irracional a través de un argumento que recurría a los conceptos de par e impar. El argumento es el siguiente:
Si √2 no es irracional puede escribirse en la forma p/q, donde p y q son enteros y p/q es una fracción irreducible. En consecuencia, (p/q)² = 2 y p² = 2q², por lo que p² debe ser par (dado que es el producto de 2 por un entero) y p debe ser par. Si p es par, entonces q debe ser impar (ya que de lo contrario p/q no sería irreducible). Pero si p es par, puede sustituirse por 2r, donde r es un entero. Entonces p² = 4r² = 2q² de ahí se sigue que q² = 2r². Esto significa que q también es par. Por lo tanto, el supuesto inicial en el que √2 es racional lleva lógicamente a la conclusión de que un entero (q) es a la vez par e impar. Como esto no puede ser verdad, el supuesto inicial es falso y √2 debe ser irracional.
Esta demostración es un gran ejemplo de una forma de razonamiento matemático; a saber, reducción al absurdo, en la que se demuestra un enunciado suponiendo que no es verdadero y demostrando que este supuesto lleva a una contradicción. El carácter irracional de √2 fue una sorpresa considerable para los griegos, quienes ya sabian por el teorema de Pitágoras que √2 es el cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado. Ello significaba que la diagonal y el lado eran inconmensurables, esto es, que no había ninguna escala de medida, por precisa que fuese, que pudiera medir ambos exactamente.
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