Matemáticas,
Teoría de probabilidades
La teoría de probabilidades se ocupa de la ocurrencia o no ocurrencia de sucesos. Son sucesos, por ejemplo, acertar «cara» lanzando una moneda al aire, sacar al azar un rey de una baraja o que comience a llover a las doce en punto. El conjunto de todos los sucesos posibles es el espacio de probabilidad. Por ejemplo, los espacios de probabilidad de los ejemplos anteriores son: {Caras, Cruces}, {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A} y {Nublado, Soleado, Lluvioso}.
la probabilidad P(A) de que un suceso A se produzca en una determinada ocasión es un número comprendido entre 0 y 1. La expresión P(A) = 1 significa que A debe ocurrir necesariamente; P(A) = 0 indica que A no puede ocurrir. Si A es el hecho de acertar «cara» con una moneda, ergo P(A) = 1/2 significa que se debe acertar «cara» en la mitad de los lanzamientos. Si P(A) se hace mayor, aumenta también la posibilidad de que ocurra A.
Si Ā es el suceso que consiste en la no ocurrencia de A, la probabilidad de que no ocurra A es P(Ā). Las dos probabilidades, A y Ā, son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir si mismo tiempo) y exhaustivas (debe ocurrir una u otra). Por lo tanto,
P(A) + P(Ā) = 1, es decir
P(Ā) = 1 — P(A).
En determinadas clases de sucesos, la probabilidad puede equipararse al cociente entre el número de casos en que el suceso se produce (casos favorables) y el número de posibilidades (casos posibles). Por ejemplo, hay una sola manera de sacar un 4 lanzando un dado común, los resultados posibles empero, son seis (1, 2, 3, 4, 5, 6). La probabilidad de sacar un 4, por lo tanto, es igual a 1/6. De ahí que la probabilidad de no sacar un 4 sea igual a 5/6. Es preciso advertir que en esta idea está implícito que todos los sucesos del espacio de probabilidades tienen la misma probabilidad. Pero no siempre es así y olvidarlo lleva a conclusiones falsas. Por ejemplo, el tiempo de mañana puede ser nublado, soleado o lluvioso (tres posibilidades) la probabilidad empero, de que mañana haga sol no es necesariamente igual a 1/3 porque los tres sucesos no son equiprobables.
Sucesos independientes.
Se dice que dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no influye en la ocurrencia del otro. Si se lanzan dos monedas al aire, por poner un ejemplo, el resultado de la segunda no influirá en el de la primera. En teoría de probabilidades es útil recurrir a la notación de la teoría de conjuntos. Dados dos sucesos A y B, su intersección A Π B es el suceso consistente en la ocurrencia de ambos a la vez. Por ejemplo, si A consiste en sacar un trébol de una baraja de naipes y B consiste en sacar un rey, A Π B consiste en sacar el rey de tréboles. Si A y B son sucesos independientes:
P(A Π B) = P(A)P(B)
Por ejemplo, si A consiste en acertar «cara» con una moneda, B en acertar también «cara» con una moneda distinta, entonces P(A) = 1/2 y P(B) = 1/2. La probabilidad de acertar dos «caras» es igual a (1/2) × (1/2) = 1/4.
Este resultado puede confirmarse considerando todos los resultados posibles, que en este caso son cuatro: ++, +-, -+ y -- (+ = cara, - = cruz). Hay un solo caso que corresponde a la ocurrencia de dos caras (++), por lo que la probabilidad es igual a 1/4.
Es frecuente cometer la falacia de considerar independientes sucesos que no lo son. Si se lanza repetidas veces una moneda, al final de suficientes lanzamientos se obtendrá un 50% de «caras» y un 50% de «cruces». Es común suponer que si han salido siete «caras» seguidas aumenta la probabilidad de que salga «cruz» en el lanzamiento siguiente. Esto claramente es falso; la probabilidad de que salga «cruz» sigue siendo igual a 1/2 . Todos Los sucesos son independientes. Este problema no deberia confundirse con el de hallar la probabilidad de sacar siete caras seguidas desde el comienzo. La probabilidad de este suceso es igual a 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/128.
Sucesos no independientes.
Si dos sucesos A y B no son independientes, la probabilidad de que ocurra uno de ellos depende de la probabilidad de que ocurra el otro. La probabilidad de que ocurra B si ocurre A se representa por P(B/A). Es la probabilidad condicional. Consideremos por ejemplo, la probabilidad de sacar un trébol de una baraja de naipes. La probabilidad de que la primera carta sacada sea un trébol es igual a 1/4 (hay 52 cartas y 13 tréboles, por lo que P(A) = 13/52 = 1/4). Después de sacar el primer trébol quedaran en la baraja 51 cartas, de las que 12 serán tréboles. La probabilidad de volver a sacar un trébol por lo tanto, es igual a 12/51 = 4/17. La probabilidad de sacar dos tréboles será:
P(A Π B) = P(A) × P(B) =
1/4 × 4/17 = 4/68 = 1/17.
1/4 × 4/17 = 4/68 = 1/17.
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