Introducción a la teoría de conjuntos
A finales del siglo XIX, el matemático ruso George Cantor (1845-1918) trató de unificar los distintos campos de las matemáticas por medio de la noción de conjunto, que podemos describir sencillamente como una colección de objetos con una propiedad en común. Si bien la teoría de conjuntos trata sobre cualquier tipo de colección, los conjuntos que nos atañen son los conjuntos de números: v. gr., el conjunto de todos los enteros de 1 a 100 o el de todos los números reales. Los objetos pertenecientes a un conjunto son sus miembros. Si C es un conjunto y x es uno de sus miembros, entonces x ∈ C (x pertenece a C). Es posible definir un conjunto listando todos sus miembros y escribiéndolos entre llaves representadas por { }. V. gr., el conjunto de los cinco primeros enteros positivos pares es {2, 4, 6, 8, 10}. El conjunto, en este caso, es finito. El conocimiento conjunto de todos los posibles enteros se indica por {1, 2, 3, ...}, donde los puntos suspensivos significan que la lista prosigue indefinidamente. Dado un conjunto finito A, el número de sus miembros es cardinalidad de A, que se representa por n(A). El conjunto que carece de elementos se llama conjunto vacío y se representa por ∅. En tal caso n(∅) = 0: la cardinalidad del conjunto vacío es igual a cero.
Es posible definir varias relaciones entre conjuntos; dados dos conjuntos A y B, se dice que B es un subconjunto de A si todos los miembros de B lo son de A. Se dice también que B está incluido en A (B ⊆ A) o que A incluye a B. Estas definiciones nos conducen a un cierto número de resultados generales:
1. Dado un conjunto A cualquiera, entonces A ⊆ A y ∅ ⊆ A: A es subconjunto de sí mismo y el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto.
2. Dos conjuntos A y B son iguales (A = B) si los miembros de ambos conjuntos son exactamente los mismos. Una condición necesaria y suficiente para que así sea es que se cumpla a la vez A ⊆ B y B ⊆ A.
3. Dados tres conjuntos A, B y C, entonces C ⊆ A sí C ⊆ B y B ⊆ A (C es un subconjunto de A sí C es un subconjunto de B y B lo es de A).
De lo anterior se sigue que A puede ser un subconjunto de sí mismo. Si B es subconjunto de A (B ⊆ A) y existe al menos un miembro de A que no pertenece a B, entonces B es un subconjunto propio de A (B ⊂ A). El subconjunto propio es lo que normalmente se entiende por subconjunto en el lenguaje corriente: una parte del conjunto pero no todo él. Si B es un subconjunto propio de A, B no puede ser igual a A.
Cuando se considera una colección de objetos dividida en varios conjuntos (algunos de los cuales pueden tener miembros en común), es útil introducir el concepto de conjunto universal, representado por E, que contiene todos los objetos primitivos. Todos los conjuntos considerados, por lo tanto, son subconjuntos del conjunto universal. Una manera general de definir un conjunto consiste en decir que sus miembros son elementos del conjunto universal que satisfacen cierta propiedad (o propiedades). v. gr., el conjunto de los enteros positivos puede escribirse así: {x; x ∈ Z y x > 0}, lo qué significa «el conjunto de aquellos x que pertenecen a Z y son mayores que 0». Z denota el conjunto de todos los enteros, que es el conjunto universal de nuestro ejemplo.
Dados dos conjuntos A y B, ambos subconjuntos del conjunto universal, se llama intersección de A y B, representada por A ∩ B, al conjunto de todos aquellos objetos que pertenecen a la vez a A y a B. Dados dos subconjuntos A y B, ambos subconjuntos del conjunto universal, se llama reunión de A y B, representada por A ∪ B, al conjunto de todos aquellos objetos que pertenecen a A o a B (o a A ∩ B).
Es preciso señalar que dos conjuntos A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅. Dados dos conjuntos A y B, ambos subconjuntos del conjunto universal, se llama conjunto diferencia entre A y B, que se representa por A/B o A - B, al conjunto de los miembros de A que no son miembros de B. Si B, es un subconjunto de A, la diferencia se llama complemento de B respecto de A. Dado un subconjunto A del conjunto universal, su complemento respecto a él se representa por A’. Las relaciones entre subconjuntos del conjunto universal pueden ilustrarse mediante diagramas de Venn
La paradoja de Russell.
El filósofo y matemático Bertrand Russell advirtió en 1901 que el conjunto §, definido como «el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos» da lugar a una paradoja. Si § pertenece a sí mismo, entonces, por definición, no puede pertenecer a sí mismo y viceversa. Una paradoja similar es la conocida paradoja del barbero que se da en los siguientes términos:
En un lejano poblado de un antiguo emirato, vivía un barbero llamado As-Samet; diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y poner sanguijuelas. Cierto día, el emir advirtió la falta de barberos en el emirato, por lo cual ordenó que los barberos unicamente afeitaran a aquellas personas que no pudiesen hacerlo por sí mismas. El barbero As-Samet se presentó ante el emir para afeitarlo, y este le contó sus angustias:
—En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, puedo afeitarme a mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! pero, si por el contrario, no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!
El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió feliz por siempre.
Ahora, supongamos que existe un conjunto cuyos elementos son todos los conjuntos normales (conjunto que no se contiene a sí mismo), será el conjunto Ň. Si Ň es normal, pertenecerá a sí mismo, Ň; por ser Ň el conjunto de todos los conjuntos normales. El conjunto Ň, empero, al ser normal, no puede contenerse a sí mismo como elemento, por lo que Ň no puede pertenecer a Ň. Si por el contrario Ň es singular (conjunto que se contiene a sí mismo), Ň no pertenece a Ň. En este supuesto, Ň no es un elemento de sí mismo, es decir, Ň cumple la definición de conjunto normal, y por tanto Ň es normal, es decir, Ň pertenece a Ň, por lo cual, si Ň pertenece a Ň, podemos demostrar que Ň no pertenece a Ň, y viceversa.
Es decir, Ň es un elemento de Ň si y sólo si Ň no es un elemento de Ň, lo cual es claramente absurdo.
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BIBLIOGRAFÍA:
Manuel López Mateos, Los Conjuntos (1978), México D.F.: Publicaciones del Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM.
Seymour Lipschutz, Seymour, Teoría de conjuntos y temas afines (1991), EE. UU. New York: McGraw-Hill.
