Filosofía analítica,
La paradoja de Russell
El filósofo y matemático Bertrand Russell advirtió en 1901 que el conjunto § definido como "el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos" da lugar a una paradoja. Si § pertenece a sí mismo, entonces, por definición, no puede pertenecer a sí mismo; y viceversa. Una paradoja similar es la conocida "paradoja del barbero":
En un lejano poblado de un antiguo emirato, vivía un barbero llamado As-Samet; diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y poner sanguijuelas. Cierto día, el emir advirtió la falta de barberos en el emirato, por lo cual ordenó que los barberos unicamente afeitaran a aquellas personas que no pudiesen hacerlo por sí mismas. El barbero As-Samet se presento ante el emir para afeitarlo, y este le contó sus angustias:
—En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, puedo afeitarme a mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! pero, si por el contrario, no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!
El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió feliz por siempre.
Ahora, supongamos que existe un conjunto cuyos elementos son todos los conjuntos normales;
será el conjunto Ň.
Si Ň es normal, pertenecerá a sí mismo, Ň; por ser Ň el conjunto de todos los conjuntos normales. El conjunto Ň, empero, al ser normal, no puede contenerse a sí mismo como elemento, por lo que Ň no puede pertenecer a Ň. Si por el contrario Ň es singular, Ň no pertenece a Ň. En este supuesto, Ň no es un elemento de sí mismo, es decir, Ň cumple la definición de conjunto normal, y por tanto Ň es normal, es decir, Ň pertenece a Ň, por lo cual, si Ň pertenece a Ň, podemos demostrar que Ň no pertenece a Ň, y viceversa.
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