Uchutenshi

Todo el sistema de Descartes se construye sobre el principio inconmovible del «cogito ergo sum». Piedra angular de esta construcción es la idea de Dios. Existe un ser del cual —aunque exterior a nosotros—, precisa afirmar su existencia con la seguridad de las ideas «claras» y «distintas»: Dios.

Dos argumentos de la existencia de Dios da Descartes. El primero lo toma de San Anselmo. El segundo, de la limitación de los hombres como seres finitos, para poseer por sí mismos la idea de lo infinito (argumento claramente falaz). De nada —dice Descartes—, no puede provenir nada. En base a eso Descartes deduce (falazmente): «la causa no puede contener menos realidad o perfección que el efecto». Descartes encontraba en el mismo, la idea de Dios como la de un ser infinitamente perfecto, pero como Descartes era finito e imperfecto, no podría haber producido dicha idea de Dios. «Dios mismo ha sembrado en el hombre la idea de lo Infinito».

De la ontología cartesiana conocemos conceptos como sustancia, atributo y modo. Sustancia para Descartes es aquello que de tal manera existe, que no necesita otra cosa para su existencia. Descartes admite que sólo Dios es sustancia, stricto sensu. En sentido más amplio llama sustancia a todo lo que —únicamente— necesita de la cooperación divina para su existencia; sin la fuerza creadora y conservadora de la divinidad, las sustancias finitas no existirían o se reducirían a la nada. La sustancia es conocida por sus propiedades, la propiedad fundamental que expresa la «esencia» del objeto y que puede concebirse por sí sola (sin presuposición de otras propiedades), se llama «atributo».

Descartes distingue entre Dios, como sustancia infinita —res infinita—, y dos clases de sustancia finitas; espíritu y cuerpo. El atributo del espíritu es el pensar —res cogitans—. En eso se manifiesta su esencia; nunca está por lo tanto, sin pensar. El atributo del cuerpo es la extensión —res extensa—, debido a que sin ella no es posible cuerpo alguno.

Descartes entiende por «modos» o «accidentes» aquellas propiedades de las sustancias que presuponen la existencia de atributos. El sentir, el querer, el anhelar, el imaginar, el juzgar, son «modos del pensamiento» (es decir, modificaciones de la conciencia). La figura, la posición, los movimientos (del espacio) son, por el contrario, «modos de la extensión».

La filosofía de Descartes parte de un enfoque en primera persona por una sencilla razón, a saber; defender el dualismo, argumento de gran significación en la filosofía cartesiana debido a que desde tal perspectiva, puede tener un conocimiento total e infalible de los contenidos mentales. El «je pense, donc je sois», es para Descartes únicamente el punto metódico de partida, en base a ello, plantea todo su sistema.

Permanece cierto en toda duda que yo pienso, que soy una cosa pensante («une chose qui pense») —dice Descartes—. Esto no lo adquiere por medio de un silogismo, sino por la «luz natural» de su razón, por una «representación clara y distinta» («perception claire et distincte»). Todo esto da lugar a la famosa «duda metódica»:

Advertí luego, que queriendo yo pensar que todo es falso, era necesario que yo, que lo pensaba, fuese alguna cosa; y observando que esta verdad: 'yo pienso, luego soy', era tan firme y segura que los más audaces argumentos de los escépticos no son capaces de conmoverla, juzgué que podía recibirla sin escrúpulo, como el primer principio de la filosofía que andaba buscando [...]

Indubitablemente dicho argumento es falaz. Recordemos que el principal argumento cartesiano a favor del dualismo gira en torno al postulado de que la mente es una sustancia cuya propiedad esencial es el pensamiento —res cogitans—, mientras que el cuerpo es una sustancia cuya propiedad esencial es ocupar un espacio —res extensa—. Descartes escribió que tenía una concepción clara del cuerpo y la mente como sustancias distintas, y que Dios puede hacer realidad todo aquello que se puede concebir con claridad, de lo que se deduce; el cuerpo y la mente son distintos.

Con este argumento Descartes cae en la famosa falacia del hombre enmascarado; el hecho de que se pueda dudar de la existencia del cuerpo pero no de la mente, no implica que sean entidades distintas. El argumento cartesiano se da en los siguientes términos:

1. Estoy seguro de que tengo una mente.

2. No estoy seguro de que tenga un cuerpo.

3. Por lo tanto, mi mente es distinta de mi cuerpo.

Puede advertirse, con indubitable claridad, que este argumento es una falacia si lo comparamos con el siguiente:

1. Sé quién es mi padre.

2. No se quién es este hombre enmascarado.

3. Por lo tanto, este hombre enmascarado no es mi padre.

Sin mencionar que desde un punto de vista objetivo, no se puede realizar afirmaciones válidas acerca de las propiedades esenciales de la materia; el dualismo cartesiano crea demasiados problemas, uno de ellos es la cuestión de las otras mentes (la mía la de vosotros, etcétera), planteada primeramente por Berkeley. Si el cuerpo y la mente son entidades lógicamente separadas, no puede haber ninguna prueba desde premisas físicas, que el resto de seres humanos posea una mente; si se parte de la perspectiva cartesiana, la única cosa del mundo que tiene una mente consciente es él, Descartes.

Otro de los problemas que nos planteamos es que el dualismo cartesiano deja un elemento de misterio en la relación de la mente con la materia. Los acontecimientos mentales (por ejemplo el dolor) son causa de acontecimientos físicos, pero también son causados por dichos acontecimientos físicos (por ejemplo cortarse con un cuchillo). Por lo tanto, los científicos no sólo deben referirse a los objetos físicos, como los átomos y los electrones, sino también a los acontecimientos mentales, como el dolor y los razonamientos. Sin embargo, parece que no hay necesidad de hacerlo, ya que todo hecho físico puede ser justificado a partir de otros hechos físicos, sin recurrir a los conceptos mentales. De modo que, o bien los hechos mentales no son causalmente activos —perspectiva conocida como «epifenomenalismo— o tienen tanto aspectos físicos como mentales, algo que contradice la afirmación de Descartes.

Entre los colegas filósofos es frecuente tropezar con un nutrido grupo con alma de poeta, es decir; confunden la creación literaria con el rigor filosófico. Excesivos ejemplos de este padecimiento lo encontramos de Descartes a Kant; de Hegel a Sartre y, de Foucault a Žižek.

Una filósofa contemporánea —no muy brillante— nos dice lo siguiente:

«El discernimiento filosófico es la fuente por excelencia de toda transformación profunda. Solo se transforma lo que se comprende con radicalidad, es decir, aquello en lo que se detiene la luz de la conciencia plena.»

Quiero suponer que si el Sócrates platónico estuviese con vida, le preguntaría a la brillante Mónica Cavallé, ¿qué es esa «transformación profunda» de la que te jactas conocer? ¿A qué te refieres con «la luz de la conciencia plena»? ¿Cuál es el método para llegar a un discernimiento filosófico fiable? Esto si antes no pregunta «qué es el discernimiento filosófico» y, sobre sus atributos y propiedades; lo mismo valdría para «la compresión radical» que Cavallé menciona tan descuidadamente. Ejemplos de este género sobran, como podremos ver a continuación:

«El acontecimiento es precisamente aquello que no puede ser creado, lo que nos sorprende.»

Esto lo menciona Žižek a en su libro «Acontecimiento», en donde nos expone la idea del «acontecer», del «advenimiento». Žižek empero, nunca explica qué es el acontecer. El esloveno —indubitablemente—, es un poeta.

Al intentar comprender el significado de una palabra; no debemos preguntarnos qué significa sino cómo se usa, y sacarla de ese juego de lenguaje es abusar del mismo. Algunos planteamientos —como los de Hegel o Heidegger— intentan forzar el lenguaje más allá de sus límites; ya que la respuesta no proviene del hecho de formular preguntas respecto a problemas filosóficos, sino de advertir que se había errado al plantearlos. El valor de verdad de una proposición no es un problema de análisis lógico sino un problema de experiencia; en consecuencia, sólo tienen sentido las proposiciones verificables, sea o no posible su verificación actual.

A continuación expongo temas de interés que deberían ocupar —no delimitar— el quehacer filosófico.¹

1. Las ciencias formales

Lógica y matemáticas. Con frecuencia se hace referencia a la lógica y a las matemáticas como (ejemplos de) ciencia. ¿En qué sentido son (estas disciplinas) ciencias? ¿Cómo podemos conocer las verdades lógicas y matemáticas? ¿A qué verdad apelan? ¿Cuál es la relación entre las matemáticas y la ciencia empírica?

2. La descripición científica

¿Qué es lo que constituye una descripción científica adecuada? ¿Cuál es la lógica de la formación de los conceptos que intervienen en dicha descripción?

3. La explicación científica

¿Qué es lo que se quiere decir cuando se afirma que la ciencia explica? ¿Qué es una explicación científica? ¿En qué consiste? ¿Existen otro tipo de explicaciones? En caso afirmativo, ¿cómo están relacionados estos tipos de explicación con la explicación científica?

4. Predicción

Se afirma que la ciencia predice. ¿Cómo es esto posible? ¿Cómo se relacionan la predicción y la explicación? ¿Cuál es la relación entre estas dos últimas y la prueba científica?

5. Causalidad y leyes

La ciencia explica por medio de leyes. ¿Qué son las leyes científicas? ¿Cómo ayudan a explicar? Excesivas leyes son conocidas como leyes causales. ¿Hay leyes que no sean causales? En caso afirmativo, ¿qué son estas?

Postulados

1. Lo real es cognoscible.

2. El mundo es exterior al sujeto cognoscente y tiene existencia por si mismo.

3. Todo lo existente es material.

4. Nuestro conocimiento de lo real no es perfecto.

5. El conocimiento más fiable sobre lo real es el que se obtiene a través de la aplicación del método científico.

6. El conocimiento científico es indirecto.

7. Las teorías científicas pueden mejorarse..

8. Todo lo existente es un sistema o componente de un sistema.

9. Todo sistema posee propiedades generales que sus componentes no poseen.

10. Todo sistema es independiente de otro sistema, pero esta independencia es una forma de imbricación con lo existente.

Los postulados dfienden la tesis ontológica del realismo científico, también se advierte un guiño a la tesis gnoseológica de inteligibilidad; realismo ontológico porque se distingue entre «las cosas»; objetos concretos, materiales y los hechos que a ellos acaece; y los constructos —objetos conceptuales— que los representan, es decir, datos, modelos hipótesis, teorías, abstracciones, etcétera.

Es importante señalar que la ciencia no prueba la existencia de lo real, sino que, por el contrario, lo da por supuesto. Nuestro conocimiento sobre lo real es incompleto porque se construye sobre modelos seleccionados de los hechos de interés, es decir, las variables que se tienen en cuenta para describir un determinado modelo son únicamente algunas posibilidades de las muchas que puede haber; obedecen a un paradigma y nuestras limitantes tecnológicas ciertamente son un impedimento —de momento— para mejorarlo. No se puede afirmar empero, que sea un conocimiento directo, es decir; una teoría científica se refiere de manera inmediata a un modelo idealizado de un sistema —cuyo comportamiento se pretende describir, explicar y predecir— y no a lo real en sí. Las teorías si bien no son perfectas, pueden mejorarse, es decir, hay proposiciones fácticas aproximadamente verdaderas y, toda aproximación a la verdad, es perfectible.

_____

¹Klemke, Hollinger & Kline (1980). Introductory Readings in the Philosophy of Science. Buffalo, N.Y.: Prometheus Books.

En cierta ocasión, Poe le pidió a Baudelaire que fuese su amigo, tanto se parecían entrambos. No sé qué pasó con la amistad de estos dos desdichados, si se concretó o no. Pero de una cosa estoy seguro: fueron dos almas gemelas, seguramente malditas por sus carencias de mercedes personales, algo perfectamente verificable en sus vidas.

El entendimiento, el ingenio, la inteligencia y el talante no van, sin duda alguna, de la mano de la felicidad; y es perfectamente natural, es una de las formas de los tantos equilibrios que prodiga el universo.

Cada pérfida reflexión filosófica se repite una y otra vez, encuentro una notoria diferencia entre el mundo teórico de la filosofía barata y la vida real. La desapacible y repelente vida real; que incluye la codicia, el odio, la corrupción y la muerte... Hastiado y confuso celebro la fruición por beber; expelido en los márgenes delincuentes de esta ciudad asfixiada, donde la brega filosófica actual es simple masturbación mental.

La teoría de probabilidades se ocupa de la ocurrencia o no ocurrencia de sucesos. Son sucesos, por ejemplo, acertar «cara» lanzando una moneda al aire, sacar al azar un rey de una baraja o que comience a llover a las doce en punto. El conjunto de todos los sucesos posibles es el espacio de probabilidad. Por ejemplo, los espacios de probabilidad de los ejemplos anteriores son: {Caras, Cruces}, {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A} y {Nublado, Soleado, Lluvioso}.

la probabilidad P(A) de que un suceso A se produzca en una determinada ocasión es un número comprendido entre 0 y 1. La expresión P(A) = 1 significa que A debe ocurrir necesariamente; P(A) = 0 indica que A no puede ocurrir. Si A es el hecho de acertar «cara» con una moneda, ergo P(A) = 1/2 significa que se debe acertar «cara» en la mitad de los lanzamientos. Si P(A) se hace mayor, aumenta también la posibilidad de que ocurra A.

Si Ā es el suceso que consiste en la no ocurrencia de A, la probabilidad de que no ocurra A es P(Ā). Las dos probabilidades, A y Ā, son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir si mismo tiempo) y exhaustivas (debe ocurrir una u otra). Por lo tanto,

P(A) + P(Ā) = 1, es decir

P(Ā) = 1 — P(A).

En determinadas clases de sucesos, la probabilidad puede equipararse al cociente entre el número de casos en que el suceso se produce (casos favorables) y el número de posibilidades (casos posibles). Por ejemplo, hay una sola manera de sacar un 4 lanzando un dado común, los resultados posibles empero, son seis (1, 2, 3, 4, 5, 6). La probabilidad de sacar un 4, por lo tanto, es igual a 1/6. De ahí que la probabilidad de no sacar un 4 sea igual a 5/6. Es preciso advertir que en esta idea está implícito que todos los sucesos del espacio de probabilidades tienen la misma probabilidad. Pero no siempre es así y olvidarlo lleva a conclusiones falsas. Por ejemplo, el tiempo de mañana puede ser nublado, soleado o lluvioso (tres posibilidades) la probabilidad empero, de que mañana haga sol no es necesariamente igual a 1/3 porque los tres sucesos no son equiprobables.

Sucesos independientes.

Se dice que dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no influye en la ocurrencia del otro. Si se lanzan dos monedas al aire, por poner un ejemplo, el resultado de la segunda no influirá en el de la primera. En teoría de probabilidades es útil recurrir a la notación de la teoría de conjuntos. Dados dos sucesos A y B, su intersección A Π B es el suceso consistente en la ocurrencia de ambos a la vez. Por ejemplo, si A consiste en sacar un trébol de una baraja de naipes y B consiste en sacar un rey, A Π B consiste en sacar el rey de tréboles. Si A y B son sucesos independientes:

P(A Π B) = P(A)P(B)

Por ejemplo, si A consiste en acertar «cara» con una moneda, B en acertar también «cara» con una moneda distinta, entonces P(A) = 1/2 y P(B) = 1/2. La probabilidad de acertar dos «caras» es igual a (1/2) × (1/2) = 1/4.

Este resultado puede confirmarse considerando todos los resultados posibles, que en este caso son cuatro: ++, +-, -+ y -- (+ = cara, - = cruz). Hay un solo caso que corresponde a la ocurrencia de dos caras (++), por lo que la probabilidad es igual a 1/4.

Es frecuente cometer la falacia de considerar independientes sucesos que no lo son. Si se lanza repetidas veces una moneda, al final de suficientes lanzamientos se obtendrá un 50% de «caras» y un 50% de «cruces». Es común suponer que si han salido siete «caras» seguidas aumenta la probabilidad de que salga «cruz» en el lanzamiento siguiente. Esto claramente es falso; la probabilidad de que salga «cruz» sigue siendo igual a 1/2 . Todos Los sucesos son independientes. Este problema no deberia confundirse con el de hallar la probabilidad de sacar siete caras seguidas desde el comienzo. La probabilidad de este suceso es igual a 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/128.

Sucesos no independientes.

Si dos sucesos A y B no son independientes, la probabilidad de que ocurra uno de ellos depende de la probabilidad de que ocurra el otro. La probabilidad de que ocurra B si ocurre A se representa por P(B/A). Es la probabilidad condicional. Consideremos por ejemplo, la probabilidad de sacar un trébol de una baraja de naipes. La probabilidad de que la primera carta sacada sea un trébol es igual a 1/4 (hay 52 cartas y 13 tréboles, por lo que P(A) = 13/52 = 1/4). Después de sacar el primer trébol quedaran en la baraja 51 cartas, de las que 12 serán tréboles. La probabilidad de volver a sacar un trébol por lo tanto, es igual a 12/51 = 4/17. La probabilidad de sacar dos tréboles será:

P(A Π B) = P(A) × P(B) =
1/4 × 4/17 = 4/68 = 1/17.

El artista Giorgio Vasari utilizò la palabra rinascita —«renacimiento»— para describir el resurgir de las artes en Italia desde el siglo XIV hasta su propia época. Reinaissance es el sinónimo francés; el uso que utilizó Jacob Burckhardt en su civilazción del ranacimiento en Italia dio al período el nombre con que se le conoce en la actualidad.

Determinar el comienzo exacto del renacimiento es tarea complicada, estudiar la época empero, en el contexto de la historia social, económica y religiosa; nos proporciona determinados factores que se destacan como cruciales para el cambio de cosmovisión que lo caracteriza: la peste negra, que acabó con el sistema feudal de la Europa medieval; el surgimiento del comercio, que propició la aparición de una clase de mercaderes acaudalados; y la reducción de la autoridad de la iglesia como resultado de rivalidades internas.

El período de libertad intelectual en el cual florecio el arte, la ciencia y la literatura comenzó en Italia y se extendió al norte y el oeste de europa, con la excepción de Hungría, que disfrutó de un breve renacimiento bajo Matías Corvino, en cuyo periodo —en el este de Europa— permaneció la tradición bizantina.

Los escritores y artistas de la época parecen haber sido conscientes de un gran cambio de paradigma que arrastró a su paso las imposiciones de la tradición medieval. en el siglo XIV, escritores como Petrarca comenzaron a desplazar el punto de vista medieval que situaba al hombre como un Adán caído en busca de redención. Artistas, escritores y eruditos se sintieron entonces libres para examinar el mundo material en un intento por comprender el lugar y finalidad de los seres humanos. Así como Petrarca se volvió hacia la literatura y la filosofìa de las antiguas Grecia y roma, los pintores del renacimiento también encontraron su musa en el pasado. La influencia del mundo clásico fue fuerte en Italia, no sólo a causa de los restos de arquitectura y escultura antiguas descubiertos por todo el país, sino también, de manera menos evidente, debido a las formas de gobierno republicanas en las ciudades-estado. las ciudades-república del norte de italia fueron particularmente receptivas a los nuevos estilos de arte, e innumerables obras —grandes— del renacimiento, fueron encargos municipales.

Puesto que las naciones de Europa aun estaban en proceso de desasrrollo, el renacimiento suele apreciarse mejor en términos de estados que compiten más que los propios países. Los centros artísticos tendieron a corresponderse con los grandes centros del comercio: la supremacía de Florencia dependía tanto de la industria textil como del talento de sus artistas. Las actividades del comercio y la banca motivaron intercambios artísticos entre el norte y el sur. Leonardo da Vinci visitó Francia. Alberto Durero fue a Italia y Jan Van Eyck a Portugal. Tales viajes resultaron fundamentales para la difusión de ideas y ténicas.

Los artistas del renacimiento tuvieron tanto éxito al emular a los antiguos que poco tiempo después los superaron en destreza técnica. Las disciplinas del arte y la ciencia estaban intimamente relacionadas y, las investigaciones en anatomía, geometría y óptica contribuyeron a la ilusión de realidad en pintura, madera, metal o piedra. Los pintores, en particular, estaban continuamente inventando y peffeccionando nuevos métodos para lograr una ilusión de espacio tridimencional en una superficie plana. entre los diversos resultados del renovado interés por la antigûedad figuraban nuevas formas temáticas; la reintroducción de los antiguos dioses paganos en la imagenería europea es un buen ejemplo. en el norte de europa empero, los artistas estuvieron menos influidos por los modelos clásicos. El estilo gótico persistió en la arquitectura y en gran medida en la pintura, mientras que los artistas del sur de Europa se afanaban por conseguir un realismo cada vez mayor.

Inicios del renacimiento en Italia

Inspirados por san francisco de Asís, los poetas y pintores de la Italia de fines del siglo XIII comenzaron a interesarse por su entorno y a representarlo con mayor fidelidad. Giotto di Bondone introdujo un contenido emocional en su obra, que porprimera vez permitió al espectador identificarse con el tema como ser humano próximo. Las grande sobras de Giotto en las capillas de los Bardi y los Peruzzi en Santa Croce, Florencia, fueron costeadas por banqueros que deseaban glorificar el apellido, La misma expresiva cualidad emocional lograron en la escultura Nicola Pisano y su hijo Giovanni en Pisa, siena y Pistoia. Cabe destacar la importancia que tuvo Siena en la actividad artística en el siglo XIV. Los frescos de Ambrogio Lorenzetti en el palacio comunal, sus Alegorías del bien y el mal gobierno, introdujeron un nuevo elemento en el arte de la Europa cristiana: la representación realista del paisaje.

Renacimiento italiano en el siglo XV

El rápido progreso de las artes en el siglo XV —el llamado quattrocento—, particularmente en Florencia, es fundamental para el renacimiento. El deseo de afirmar su supremacía en poder y prestigio respecto a otras ciudades-estado italianas, llevó a los florentinos a necargar un número de obras de arte públicas a los principales artistas del siglo XV. La construcción y ornato de la catedral, del campanile adyacente y del baptisterio tuvieron gran importancia entre el conjunto de estos proyectos cívicos. Otro gran proyecto florentino fue la ornamentación de Orsanmichele, un oratorio compartido por los gremios de la ciudad. Cada gremio encargó una estatua, y Donatello, Ghiberti y otros escultores compitieron con sus obras. Cabe señalar la importancia que tuvieron algunas familias de mercaderes y banqueros, en el costeo para la construcción de palacios e iglesias, entre los que destacan los Médici, una familia de banqueros extremadamente rica.

Brunelleschi y Donatello viajaron a Roma para estudiar la arquitectura y la escultura antiguas, con innumerables mediciones y dibujos. De sus obras surgió un nuevo conocimiento de las artes que transformarían Florencia y toda Europa. La escultura de donatello, tanto en piedra como en bronce, fue revolucionaria; las varias figuras de pies que esculpió para Orsanmichele recordaban la escultura de la Roma republicana. Su bronce David fue el primer desnudo; su bronce Gattamelata, la primera estatua encuestre monumental desde la antigûedad. Su enfoque atrevido y poco convencional le granjeó las simpatías de cosme de Médicis y, el disfrute de una posición social entre gobernantes y eruditos inusual para sus contemporáneos. Los artistas no sólo alcanzaron movilidad social, sino que pasaban libremente de una a otra disciplina. Brunelleschi, orfebre cualificado y escultor consumado, se convertiría en el excepcional arquitecto de la época. En una baladronada, convenció a las autoridades que podía lograr un imposible, a saber; la construcción de una cúpula en la casi aacabada catedral. Su solución fuen un triunfo de la ingeniería, lo que le valió gran popularidad y renombre. en una ciudad que se complacía ante la idea de que un hombre común lograra hazañas asombrosas, como se ejemplificaba en sus estatuas de David, el que mata al gigante; Brunelleschi se convirtió en un emblema de orgullo cívico.

El interés de Brunelleschi por la arquitectura antigua, centrado en los estudios matemáticos de la proporción, se vio cumplido en sus diseños arquitectónicos, de manera notable en el de la iglesia del Espíritu Santo y el de la capilla de los Pazzi. Entre los años 1420 y 1430 los principales artistas florentinos estaban resueltos a encontrar los principios matemáticos de la perspectiva. Brunelleschi había demostrado una ténica de perspectiva que proporcionaba la clave para la representación del espacio en una superficie plana o poco profunda. Los resultados inmediatos de este descubrimiento se aprecian en El festín de Herodes, de Donatello, y en el fresco La Trinidad, de Masaccio, que por cierto, fue el primero que consiguió representar de manera convincente la muchedumbre mediante el uso de luz y sombra. Masaccio en un rasgo de ingenio, utilizó la ventana verdadera en la capilla Brancacci de Santa Maria del Carmine para determinar la dirección de la luz en cada una de sus escenas del ciclo de frescos.

El arte de la Florencia del siglo XV se divide en dos categorías: una monumental y científica, la otra delicada y decorativa. El naturalismo de las pinturas de Massacio, firmemente basado en estudios científicos, contrastó de manera espectacular con el estilo gótico tardío todavía preferido por pintores contemporáneos como Fra Angélico y Fra Filippo Lippi, y más tarde por Sandro Botticelli. si bien estuvieron en cierta medida por los esfuerzos pioneros de artistas como Massacio, se adhirieron a la iconografía simbólica medieval y lograron una cualidad mística que frecuentemente es nula en obras de artistas —concretamente pintores— más «científicos». Piero della Francesca es un ejemplo perfecto de una rica y virtuosa mezcla al combinar ciencia y misticismo. Aprendio las lecciones de Massacio, Brunelleschi y Donatello y estudió a fondo las teorías propuestas por Leon Battista Alberti en su influyente obra De pictura. Desarrolló un sofisticado sistema de medición nunca intentado antes —ni después—, mediante el cual era posible representar en perspectiva incluso la cabeza humana. fue tan fiel a las reglas numéricas que sus pinturas tienen una espiritualidad serena que parece pertenecer al terreno platónico de las matemáticas puras.

El entusiasmo de la familia gobernante, los Médici, por el neoplatonismo inspiró a muchos artistas de la época, claro que a ninguno tanto como a Botticelli. Su cuadro La primavera es una alegoría del ciclo platónico de nacimiento, vida y «transmigración del alma». La corte de Venus está representada como un naranjal al amanecer. el espíritu de la Tierra, Cloris (derecha), es tocado por el espíritu del viento y se convierte en Flora, o la naturaleza abundante. Las tres Gracias bailan mientras Mercurio (izquierda) señala hacia el cielo. Convirtiéndose en una gran representación gráfica del platonismo de los humanistas Marsilio Ficino y Angelo Poliziano.

El renacimiento clásico en Venecia

Los venecianos desarrollaron la técnica de la pintura al óleo mediante la adición de resinas, que hizo posible pintar sobre lienzo en lugar de la tabla, común en aquellos tiempos. La pintura veneciana se caracteriza por su integración de figuras y paisaje, y el uso del color en la composición. su rica luminosidad refleja la opulenta sociedad de la Venecia de comienzos del siglo XVI.

Un pintor sobresaliente fue Giorgione, que dio gran importancia al paisaje en su obra, utilizándolo para crear clima y atmósfera, como en La Tempestad. Tras una etapa de formación con Giovanni Bellini, Tiziano trabajó con Giorgione. Sus primeras obras muestran alguna influencia estílistica de Giorgione, en los años centrales, empero, Tiziano desarrolló un estilo vibrante propio, con su uso espectacular del color, el movimiento y la textura. Sus retratos monumentales de monarcas como Carlos V y Felipe II de España, inauguraron la tradición europea de la pintura de corte, entre cuyos exponentes más tardíos se cuentan Velázquez y Van Dyck.

Otro artista sobresaliente fue il Tintoretto, fuertemente influenciado por Tiziano. Tintoretto sin embargo, desarrolló su propio estílo, particularmente en una serie de pinturas para la Scuola di San Rocco: estos lienzo fueron inspirados por el fervor religioso de la Contrareforma. Otro contemporáneo de Tintoretto fue el Veronés, que trabajó en obras de parecidas grandes dimensiones. El esplendor de sus escenas de corte era tal, que su contenido religioso a menudo era poco evidente. Finalmente fue llamado ante la Inquisición bajo el cargo de irreverencia en su pintura como sucede —supuestamente— en la gran pintura Cena en casa de Leví.

El Veronés colaboró con el arquitecto Andrea Palladio en su trabajo en la villa Master, cerca de Venecia, de modo que sus pinturasn se conjugaban con la arquitectura para producir asombrosas ilusiones de espacio. En su estilo clásico, exquisitamente refinado, Palladio llevó a su cima las teorías de la arquitectura renacentista, en las cuales, las proporciones se basan en las relaciones armónicas de las escalas musicales griegas. Palladio diseñó el ayuntamiento, el teatro y diversos palacios en Vicenza, su obra más importante empero, fue el diseño de varias villas cerca de la ciudad. La arquitectura de Palladio fue tan fiel a los ejemplos antiguos que inspiró el movimiento neoclásico de fines del siglo XVIII y comienzo del XIX. en la terminología de la arquitectura moderna, clásico a menudo significa palladiano.

Villa Barbaro, Palladio.

Los números irracionales son los que no pueden expresarse como cociente de enteros. Según Platón, los griegos descubrieron que √2 era irracional a través de un argumento que recurría a los conceptos de par e impar. El argumento es el siguiente:

Si √2 no es irracional puede escribirse en la forma p/q, donde p y q son enteros y p/q es una fracción irreducible. En consecuencia, (p/q)² = 2 y p² = 2q², por lo que p² debe ser par (dado que es el producto de 2 por un entero) y p debe ser par. Si p es par, entonces q debe ser impar (ya que de lo contrario p/q no sería irreducible). Pero si p es par, puede sustituirse por 2r, donde r es un entero. Entonces p² = 4r² = 2q² de ahí se sigue que q² = 2r². Esto significa que q también es par. Por lo tanto, el supuesto inicial en el que √2 es racional lleva lógicamente a la conclusión de que un entero (q) es a la vez par e impar. Como esto no puede ser verdad, el supuesto inicial es falso y √2 debe ser irracional.

Esta demostración es un gran ejemplo de una forma de razonamiento matemático; a saber, reducción al absurdo, en la que se demuestra un enunciado suponiendo que no es verdadero y demostrando que este supuesto lleva a una contradicción. El carácter irracional de √2 fue una sorpresa considerable para los griegos, quienes ya sabian por el teorema de Pitágoras que √2 es el cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado. Ello significaba que la diagonal y el lado eran inconmensurables, esto es, que no había ninguna escala de medida, por precisa que fuese, que pudiera medir ambos exactamente.